一维搜索方法应用实践

线性需求函数模型： \( D(p) = \beta p + \alpha \)，其中：

• \( \beta \)：需求对价格的敏感度（斜率），通常 \( \beta < 0 \)，表示价格每增加一个单位，需求量减少 \( |\beta| \) 个单位；
• \( \alpha \)：截距，反映价格为零时的理论需求量，也可视为非价格因素的综合影响。

最小二乘估计的目标： 给定 \( n \) 组观测数据 \( (p_i, D_i) \)，我们希望找到 \( \beta, \alpha \) 使误差平方和最小：

\[ L(\beta, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} \left( D_i - (\beta p_i + \alpha) \right)^2. \]

经典解析解（闭式解）： 对 \( L \) 求偏导可得：

\[ \hat{\beta} = \frac{\sum (D_i - \bar{D})(p_i - \bar{p})}{\sum (p_i - \bar{p})^2}, \quad \hat{\alpha} = \bar{D} - \hat{\beta} \bar{p}. \]

本实验的一维搜索方法： 为了演示数值优化算法，我们并不直接使用上述公式，而是将问题转化为关于 \( \beta \) 的一维无约束极小化问题。利用 \( \alpha = \bar{D} - \beta \bar{p} \) 消去 \( \alpha \)，得到：

\[ L(\beta) = \sum_{i=1}^{n} \left( (D_i - \bar{D}) - \beta (p_i - \bar{p}) \right)^2. \]

然后，在左侧选择搜索方法（黄金分割、斐波那契、二分、梯度下降、牛顿、割线），算法将迭代逼近最优 \( \beta^* \)。右侧面板可实时观察迭代过程与函数值变化。

经济含义： \( \hat{\beta} \) 衡量了需求对价格的敏感度，其绝对值越大，需求弹性越高。利用该拟合函数，可进一步进行定价决策与利润优化。